Tłumaczymy nasz sklep na język polski!
Wymaga to jednak czasu, ponieważ w ofercie mamy dużo artykułów, a na nasz sklep składa się wiele stron. Chwilowo nasz katalog produktów dostępny będzie w języku angielskim. Dziękujemy za cierpliwość!
Obliczanie środka masy - z przykładami
Obliczanie środka masy jest ważnym krokiem w wielu zadaniach w inżynierii mechanicznej oraz w projektowaniu maszyn i komponentów. Środek masy wskazuje, gdzie waga ciała jest skoncentrowana, a tym samym pozwala określić siły i momenty w układzie. W tym artykule omówiono podstawy obliczania środka masy i przedstawiono kilka przykładów rzeczywistych.
Co jest środek masy?
Środek masy lub środek ciężkości to miejsce, w którym koncentruje się cała masa ciała. Jest to określone przez położenie wszystkich indywidualnych mas w systemie i ich odległości do punktu początkowego.
Środek masy jest „punktem ataku” dla grawitacji. Obiekt zachowuje się jak punktowa masa w polu grawitacyjnym.
Ważne - środek masy może znajdować się również poza ciałem. Na przykład na powłokach półkulistych. Moment obrotowy jest nieskuteczny, gdy jest wywierany w środku ciężkości.
Dla ciał jednorodnych (tj. o równej gęstości wszędzie) środek masy odpowiada geometrycznemu środkowi ciężkości (środkowi objętości) - te ciała są tak zwanymi trywialnymi indywidualnymi masami. Środek ciężkości ciał jednorodnych jest zatem najłatwiejszy do określenia.
Przeciwieństwem jednorodnych ciał są tzw. ciała niejednorodne – mają one różne gęstości w różnych sekcjach ciała. Nie można ich uznać za pojedyncze masy. Takie ciała muszą być podzielone na odpowiednie indywidualne masy, obliczane indywidualnie i ostatecznie uzgodnione z całym systemem.
Obliczenie środka masy jest ważne w wielu zastosowaniach inżynieryjnych.
Przykładem jest konstrukcja maszyny i jej komponentów: tutaj środek ciężkości komponentów musi być wybrany tak, aby cała maszyna była stabilna i bezpieczna, a jej komponenty były odpowiednio „zbalansowane”.
Metody obliczania środka masy
Są różne metody określania środka masy w zależności od geometrii i rozkładu masy (gęstości) w systemie.
- W ciałach jednorodnych środek objętości może być wybrany jako środek ciężkości, pod warunkiem, że wszystkie gęstości są rozmieszczone równomiernie.
- W przypadku niejednorodnych ciał środek masy musi być określony z uwzględnieniem wszystkich gęstości punktów.
Ogólnie rzecz biorąc, środek ciężkości można obliczyć jako sumę wszystkich podmas, pomnożoną przez ich odpowiednie odległości do początku, podzieloną przez masę całkowitą. Ciało jest podzielone na skończoną liczbę pod-ilości.
Nowoczesne programy CAD lub FEM (metoda elementów skończonych) oferują takie metody obliczeniowe środka masy jako funkcje standardowe.
Środek masy i środek objętości
Środek objętości nie bierze pod uwagę masy ani gęstości ciała. Środek objętości jest zatem szczególnym przypadkiem środka masy, przy równomiernie rozłożonej gęstość w obiekcie.
Obliczenie środka masy można uprościć dla ciał jednorodnych.
Pracochlonność i użyteczność obliczeń
Odpowiedni podział na poszczególne masy nie zawsze jest trywialny – szczególnie w przypadku niejednolicie rozłożonych gęstości. Takie problemy można rozwiązać obliczeniowo i eksperymentalnie. Oczekuje się, że dokładność wyniku będzie zależeć od możliwej głębokości obliczeń lub dokładności pomiaru. Wyniki mogą być tylko przybliżone - pracochłonność i korzyści powinny być ważone.
Środek masy dla ciał jednorodnych
W przypadku ciał jednorodnych, takich jak prostopadłościan lub walec, środek ciężkości można łatwo określić za pomocą rozważań geometrycznych.
W tym przypadku można użyć symetrii, aby uprościć problem.
Środek masy pasuje do geometrycznego środka ciężkości i jest łatwo obliczany. W tym przykładzie środek masy jest jednocześnie środkiem obszaru kołowego i rzutowanym obszarem prostokąta.
Środek masy dla obiektów o nieregularnym kształcie lub obiektów niejednorodnych
W przypadku obiektów o nieregularnym kształcie należy indywidualnie rozważyć każdy punkt (gęstość punktowa), a jego udział w całkowitej masie należy obliczyć.
Takie podejście nazywane jest również integracją.
Wielościan równomiernie rozłożonej gęstości
Geometryczny środek ciężkości ciała jest obliczany przez podział ciała na odpowiednie ciała częściowe. Środki ciężkości tych ciał częściowych są obliczane, a następnie ważone wg proporcji udziału w powierzchni lub objętości.
Geometryczny środek ciężkości jest środkiem masy.
Wielościan o nierównomiernie rozłożonej gęstości
Geometryczny środek ciężkości ciała o nierównomiernie rozłożonej gęstości jest identyczny z geometrycznym środkiem ciężkości ciała o równomiernie rozłożonej gęstości.
Geometryczny środek ciężkości nie leży w środku masy.
Ciało musi być podzielone na odpowiednie ciała częściowe, a ich poszczególne środki ciężkości muszą być określone na podstawie kształtu i nierównomiernie rozmieszczonej gęstości.
Środek masy jest obliczany z częściowych ciał, biorąc pod uwagę objętość ciała i masy ciała
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - masa całkowita
- mi – masa częściowa
- (xsi, ysi, zsi) - współrzędne środka ciężkości częściowego ciała 1 w przestrzennie ustalonym układzie współrzędnych (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - współrzędne środka ciężkości całego obiektu w przestrzennie ustalonym układzie współrzędnych (x, y, z)
Wyraźna formuła na środek masy
Jeśli stopniowo dzieli się na coraz drobniejsze części, częściowe objętości lub częściowe masy "zbliżają się do zera". W rezultacie powyższy wzór aproksymacji jest przekształcany w całkę.
Środek ciężkości można zatem bardzo precyzyjnie określić:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - masa całkowita
- p(x, y, z) - lokalna gęstość materiału
- V - objętość elementu
Środek masy dla układów złożonych
Systemy złożone składają się z kilku połączonych ze sobą indywidualnych ciał, z których każde ma swój własny środek ciężkości.
Aby znaleźć wspólny środek ciężkości wszystkich podobiektów, każdy z tych punktów musi być ważony odpowiednią masą.
Przykładowe obliczenie: Połączony środek ciężkości 2 podsystemów
Układ składający się z dwóch odrębnych podsystemów jest połączony w połączony środek ciężkości.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 - masa ciała częściowego 1
- (xs1, ys1, z s1) - współrzędne środka ciężkości ciała częściowego 1 w przestrzennie ustalonym układzie współrzędnych (x, y, z)
- m2 - masa ciała częściowego 2
- (xs2, ys2, zs2) - współrzędne środka ciężkości ciała częściowego 1 w przestrzennie ustalonym układzie współrzędnych (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - współrzędne środka ciężkości całego obiektu w przestrzennie ustalonym układzie współrzędnych (x, y, z)
Eksperymentalne wyznaczanie środek masy
Środek masy można również określić eksperymentalnie. Eksperymentalne metody pomiarowe mają pewne zalety w porównaniu z obliczeniami czysto teoretycznymi:
- są niezależne od modelu materiału,
- automatycznie biorą pod uwagę wszystkie źródła błędów,
- zapewniają bezpośredni pomiar, który nie jest zależny od założeń ani szacunków.
Metoda oscylacji
Metoda oscylacji opiera się na zasadzie oscylacji harmonicznej. Polega na zawieszeniem obiektu na cienkim drucie i spowodowaniu jego oscylacji. Prędkość kątową można obliczyć mierząc czas trwania okresu. Prędkość kątowa może być następnie wykorzystana do określenia odległości między punktem zawieszenia a środkiem masy.
| Zalety: |
|
| Wady: |
|
Metoda wagowa
Metoda ta umieszcza obiekt do zbadania na platformie wagi i mierzy jego wagę. Ta sama procedura jest następnie wykonywana z drugim ciężarem w celu zmierzenia odległości między obydwoma punktami. Pomnożenie siły ciężaru przez odległość skutkuje od razu równaniem do określenia środka masy.
| Zalety: |
|
| Wady: |
|
Metoda przechylania
Metoda przechylania opiera się na zasadzie stabilności statycznej. Obiekt, który ma zostać zbadany, jest umieszczany na płaskiej powierzchni i testowany pod kątem przechylania poprzez przenoszenie ciężarów do różnych pozycji. Środek masy może być następnie również określony przez określenie grawitacyjnej linii środkowej.
| Zalety: |
|
| Wady: |
|
